preskoči na sadržaj

Login
Korisnik:
Lozinka:
VIRTUALNA UČIONICA

PRVI RAZRED
Smjer: farmaceutski tehničar
šk. god. 2019./2020.

MATEMATIKA - projektni zadatak

Matematika u egipatskim piramidama i zvjezdanom nebu

MATEMATIKA - projektni zadatak

Primjena trigonometrije u raznim aspektima života.

DERIVACIJA FUNKCIJE

DERIVACIJA FUNKCIJE f u točki x0

Tangenta je pravac koji dodiruje krivulju u jednoj točki.

Na svaku je krivulju npr. kružnicuelipsuparaboluhiperbolu moguće položiti beskonačno mnogo tangenata, ali kroz svaku točku glatke krivulje prolazi samo jedna tangenta

Jednadžba pravca tangente je y - y0 = k(x - x0),

pri čemu je koeficijent smjera k jednak derivaciji funkcije krivulje u točki x0 odnosno
k = f'(x0).

Na animiranoj slici (iznad) prikazana je krivulja složene funkcije:
f(x) = xsin(x2) + 1
u dvodimenzionalnom koordinatnom sustavu (x,y).

U svakoj točki krivulje (u intervalu od x = -1 do x = 3) prikazana je tangenta na krivulju.
- Kada je koeficijent smjera tangente (odnosno prva derivacija funkcije) pozitivan, k > 0,
dio pravca tangente je zelene boje.

- Kada je koeficijent smjera tangente negativan, k < 0,
dio pravca tangente je crvene boje.

- Kada je koeficijent smjera tangente jednak nuli, k = 0,
tj. kad funkcija ima lokalni ekstrem (minimum ili maksimum),
dio pravca tangente je crne boje.

Izvor: wikipedija

 

 

 

 

 

FUNKCIJA f

označene su točke:

  1. minimuma
  2. infleksije
  3. maksimuma

 

 

DERIVACIJA FUNKCIJE f'

označene su točke:

  1. nultočka
  2. maksimum
  3. nultočka
Niz brojeva. Aritmetički i geometrijski niz

Možete se poslužiti sadržajem NIZOVI I REDOVI  iz udžbenika preuzetog s linka: https://element.hr/artikli/file/1213

Dodatni materijali za rad:

Navedeni dokumenti su priloženi i u pdf obliku.




Aritmetički niz je niz za koji vrijedi da je razlika susjednih članova niza konstantna. Ta razlizka se označava s d.

razlika_susjednih_lanova_niza.png

Aritmetički niz je niz oblika:  

  oblik_aritmetikog_niza.png

Da bismo formirali aritmetički niz moramo poznavati a1 i d 
Za opći član niza vrijedi:

opi_lan_niza.png

Svaki član aritmetičkog niza je aritmetička sredina njemu susjednih članova niza, tj.

opi_lan_niza_preko_susjednih.png

Zbroj prvih n članova niza je

  suma_prvih_n_lanova.png



Geometrijski niz je niz brojeva kod kojeg je količnik svakog člana i člana ispred njega uvijek stalan broj. Taj broj označavamo sa q i nazivamo ga kvocijentom, a računamo ga pomoću formule:

q =frac{a_n}{a_{n-1}}

Da bismo formirali geometrijski niz moramo poznavati a1 i q 
Opći član
geometrijskog niza koji ima beskonačno elemenata:

a_n = a_1 cdot q^{n-1}

Zbroj konačno mnogo članova geometrijskog niza:

S_n = a_1 frac{q^n-1}{q-1}

Svaki član geometrijskog niza, osim prvog, je geometrijska sredina dvaju susjednih članova.

frac{a_n}{a_{n-1}} = q = frac{a_{n-1}}{a_n}
Domaći rad

   


  

  

PARABOLA

Četiri krivulje drugog reda, kružniceelipseparabole ili hiperbole mogu se dobiti promjenom nagiba ravnine kojom presijecamo konus (tj. promjenom kuta između osi konusa i ravnine koja ga presijeca). U geogebrinom apletu (ispod ovog teksta) razmatramo beskonačni stožac s kutom α (kut između izvodnice stošca i osi stošca).

​Poigrajte se animacijom kako biste vidjeli demonstraciju konika (krivulja drugog reda):

  • hiperbole 
  • parabole 
  • elipse
  • kruga​

Zaustavite animaciju i istražite dodatne posebne slučajeve promjenom:

  • kuta ravnine (povucite narančastu točku)
  • položajem ravnine (povucite smeđu točku)
  • kutom α (kut između izvodnice stošca i osi stošca)

​Ovisno o tome pod kojim kutem ravnina presjeca ovaj beskonačni stožac, imamo sljedeće situacije:

  • ako je kut između ravnine i osi stošca 0°  imamo DVA PRAVCA 
  • ako je kut između ravnine i osi stošca veća od 0° i manja od α imamo HIPERBOLU
  • ako je kut između ravnine i osi stošca veća od α  manja od 90° imamo ELIPSU
  • ako je kut između ravnine i osi stošca 90°  imamo KRUŽNICU
 
 
https://ggbm.at/T8TV2JqG

 

KONSTRUKCIJA PARABOLE metodom presavijanja papira

 

 
 
 


 

DEFINICIJA parabole
Skup svih točaka ravnine jednako udaljenih od zadanog pravca i zadane točke koja ne leži na tom pravcu.
Zadani pravac zovemo direktrisa ili ravnalica parabole, a zadanu točku F fokus ili žarište parabole.
 
 

 


DODATAK - možete pogledati i ove geogebrine aplete:

https://ggbm.at/TEedZ6Vs

https://ggbm.at/ZtEPVCec

 
PRAVAC

Priloženi dokumenti:
umna mapa PRAVAC.pdf

KRUŽNICA

Ponovimo zajedno igrajući se zadacima u geogebri:

Jednadžba kružnice (1)

Jednadžba kružnice (2)

Kružnica kroz zadanu točku, koja dodiruje obje osi

Položaji dviju kružnica

Međusobni položaj dviju kružnica (1)

 

SISTEMATIZACIJA GRADIVA

Uputa:

Riješite zadatke s listića u priloženom dokumentu zadaci za vjezbu - kruznica.pdfRješenja možete provjeriti ovdje u apletima Geogebre. U njima su nacrtane sve kružnice, a vi možete dodavati i konstruirati sve što je potrebno za provjeru vaših rješenja.

ELIPSA - konstrukcija

 

 

KOORDINATNI SUSTAV U RAVNINI

VEKTORI U RAVNINI - osnove
ŠTO ĆU NAUČITI?
  • Prikazati vektore u ravnini
  • Zbrajati ih i oduzimati
  • Množiti vektore sa skalarom
  • Primijeniti vektore i operacije s njima za prikazivanje i istraživanje geometrijskih oblika

ZA ŠTO MI TO TREBA?

  • Za određivanje rezultantne sile
  • Za određivanje smjera kretanja zrakoplova
  • Za određivanje brzine kretanja zrakoplova u odnosu na tlo

SVOJSTVA VEKTORA:

 
Matematika 3, II.dio, udžbenik za 3. razred četverogodišnje strukovne škole
I.Čavlović, M.Lapaine
Školska knjiga, Zagreb, 2005

 

 

ZBRAJANJE VEKTORA

 

ODUZIMANJE VEKTORA

 

ZBRAJANJE I ODUZIMANJA VEKTORA - PRAVILA

 

CRTANJE VEKTORA U KOORDINATNOM SUSTAVU

KOLINEARNI VEKTORI

MNOŽENJE VEKTORA SKALAROM

 


POGLEDAJTE VIDEO SA SKRIVENIM ZADACIMA

IGRA: memori kartice

 
Priloženi dokumenti:
vektori ZADACI ZA VJEZBU.docx

Skalarni produkt vektora

RAD JE SAVLADAVANJE (djelovanje) SILE NA NEKOM PUTU.
Kolika je sila potrebna da bi se uz isti rad tijelo na slikama pokmaklo za isti put?

 

 


Skalarni produkt dvaju vektora jest SKALAR (realan broj) koji je jednak umnošku modula tih vektora i kosinusa kuta između njih

SVOJSTVA:


Matematika 3, II.dio, udžbenik za 3. razred četverogodišnje strukovne škole
I.Čavlović, M.Lapaine
Školska knjiga, Zagreb, 2005


Zadana su dva vektora i kut među njima:

 


 

Ortogonalna projekcija dužine a na pravac nosioc vektora  nazivamo SKALARNA PROJEKCIJA vektora na vektor 

     

 

 


 Provjeri pomoću skalarnog produkta valjanost podataka sa slike:


 

Trigonometrija
Trigonometrijske funkcije

Što ćeš naučiti?

  • Kako nastaje graf funkcije f(x) = sin x
  • Kako nastaje graf funkcije f(x) = COS x

Klikom na gumbove Start i Stop možeš pokrenuti, odnosno zaustaviti animaciju. Dok je animacija zaustavljena, možeš povlačiti točku u koordinatnom sustavu.


U kojim je točkama vrijednost funkcije sinus jednaka 0 ?
Kolika je funkcijska vrijednost u točki s apscisom  ?

Provjeri što se događa ako povlačiš točku A po kružnici?

Trigonometrijske funkcije

Graf funkcije f(x)=asin(bx+c)+d

 

 

Trigonometrijske funkcije

Namatanje brojevnog pravca na BROJEVNU KRUŽNICU 

 (bez rastezanja i klizanja). Svakom broju pridružuje se jedna točka kružnice. Naglašene su samo istaknute točke kružnice.
Kliknite na gumb za pokretanje animacije u donjem lijevom kutu apleta ili povlačite klizač t.
 
 

 

Vrijednosti trigonometrijskih funkcija nekih karakterističnih brojeva (kutova)
 


Formule redukcije se nalaze u priloženim datotekama
Formati papira

Danas ćemo

  • mjeriti duljine i izračunavati omjere visine i širine papira
  • računati izraze s korijenima
  • procjeniti i izračunati vrijednost drugoga korijena služeći se džepnim računalom
  • ponoviti razliku između racionalnih i iracionalnih brojeva
  • istražiti svojstva standardnih formata papira

(OBRAZOVNI ISHODI)

ZADACI:

  1. Izmjeri dimenzije i pokušaj odrediti format nekih "papira" kod kuće (primjerice: osobna iskaznica, pokaz, putovnica, igraće karte, udžbenik iz matematike, omiljena knjiga...).
    Dozvoljena je tolerancija  ±1.5 mm za dimenzije do 150 mm, 
    ±2 mm za dimenzije od 150 mm do 600 mm i ±3 mm za dimenzije iznad 600 mm.
  2. Koliko posto treba na fotokopirnom aparatu uvećati sliku želimo li papir formata A5 kopirati na format A4?
  3. Na pakiranju A4 papira stoji da on teži 80 g/m2. Na kartonskoj uredskoj ladici stoji da je predviđena za težine do 2 kg.
    Možemo li u nju staviti cijeli paket od 500 papira?
  4. Koliko bi puta (teoretski) trebao/la presavinuti papir na pola da njegova debljina dosegne tvoju visinu?

ANKETA za učenike


 

  1. Pogledaj video The A4 Paper Puzzle  i riješi zadatak zadan u  njemu.
  2. Može li se presavijanjem papira doći do mjeseca?
    Kako možemo doći do Mjeseca savijajući papir
  3. Koliko se puta stvarno može presaviti papir? 
    MythBusters- Folding Paper Seven plus times 
  4. Što se dogodi s papirom ako se presavije jednom previše? 
    Watch What Happens When You Use A Hydraulic Press To Try To Fold A Piece Of Paper Seven Times
  5. Kako presavijanjem papira do korijena broj 2 i kako dokazati da je on iracionalan broj? 
    Root 2 - Numberphile

 

ANKETA za nastavnike

 

Pripreme za DRŽAVNU MATURU - razina A
Dragi moji matematičari,
 
Ovdje možete preuzeti radne materijale koji će vam pomoći oko priprema za nadolazeći ispit. Kako budemo prolazili gradivo, tako će i količina materijala rasti.
Nadam se da ćete uhvatiti "malo" slobodnog vremena za zadatke koji slijede! 
Radite korak po korak.... 
Pokušajte riješiti što više .....enlightened  Imajte na umu da 
još uvijek nismo prošli cijelo gradivo, ali ono što jesmo - to biste trebali znati riješiti.
 
Vježbajte, vježbajte,  vježbajte, vježbajte,.....
To vam je jedina garancija za uspjeh!
Sada ste već u situaciji kada morate planirati - odvojiti svakodnevno barem 45 minuta na ponavljanje i uvježbavanje ovog gradiva! smiley
Ako vam se to čini puno, onda se samo prisjetite koliko vam dnevno ode vremena na SMS-anje, CHAT-anje, facebook, gledanje kojekakvih serija,.... Nekih ćete se stvari morati odreći...
Nemojte da to budu kave s dragim prijateljima  heart, svakodnevne školske obveze, ili pripreme za "budućnost".
First things - first!
 
Topli pozzzz
Vaša profesorica Mirjana G.B.
 

Malo znanja ljude čini dobrima, a mnogo skromnima.

Leonardo da Vinci

 
 
Riješeni zadatci za pripremu za polaganje matematike na državnoj maturi

Naoružajte se kavom, strpljenjem i upornošću! Provjerena formula smiley

Samo rad će vas dovesti do uspjeha! Na linku koji sljedi ćete pronaći puuuuuno korisnih i što je još važnije, riješenih zadataka. 

DOSADAŠNJI, RIJEŠENI ISPITNI ROKOVI

http://web.vip.hr/robert.gortan.vip/nastava_matematike.html

Sretno!

Vaša prof. M.G.B.

Dokumenti za prikaz
Primjeri pismenih provjera znanja
Jednadžba hiperbole
Jednadžba elipse

U priloženim dokumentima ćete pronaći materijale pomoću kojih možete ponoviti obrađene sadržaje.

Priloženi dokumenti:
Elipsa.ppt
ELIPSA 2.ppt

Skupovi brojeva, brojevi, potencije i korijeni
Skup kompleksnih brojeva - C
Algebarski izrazi
Linearne i kvadratne jednadžbe i nejednadžbe



preskoči na navigaciju